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摘要： 解答三角函数最值问题，不仅要灵活运用三角函数的定义、公式、图象、性质，还需根据一次函数、二次函数的图象与性质来求函数的最大值、最小值.本文结合几道典型例题，谈一谈解答三角函数最值问题的两种措施，供读者参考.一、利用三角函数的有界性有界性是三角函数的重要性质，也是求解三角函数最值的重要依据.在解答三角函数最值问题时，我们要先根据辅助角公式、诱导公式、二倍角公式、两角和差公式等，将三角函数的解析式化为只含有一种三角函数名称的式子；

摘要： 集合是高中数学中第一个数学概念,也是每年高考必考的知识点．“集合”的课程目标是通过该模块的学习,能使用最基本的集合语言表示有关的数学对象,并能在自然语言、图形语言、集合语言间进行转换,体会用集合语言表示数学内容的简洁性、准确性,发展运用集合语言进行交流的能力[1]．集合作为数学的基础工具,渗透于各类问题的解决过程中,能够充分体现数学思想的多样性和逻辑的严密性,对提升学生的思维能力具有重要作用．

关键词： 视觉SLAM   动态环境   神经隐式表征   显式体积表示   大规模重建  

摘要： 随着人工智能、机器人技术与计算机视觉的快速发展,同时定位与建图(Simultaneous Localization and Mapping,SLAM)作为实现智能机器人自主导航的关键技术,其重要性日益凸显。SLAM通过解决机器感知与环境建模的基础性问题,为空间认知与理解提供了核心框架。然而,现有SLAM方法在应对动态环境和大规模场景重建时仍面临诸多挑战:1)动态环境中特征点处理的精确性与实时性难以平衡,现有方法往往通过牺牲系统实时性能来提高定位精度;2)在建图任务中,神经隐式表示虽具备高质量场景重建能力,但在动态环境中容易产生“鬼影”等干扰,且计算资源需求过高;3)基于3D高斯泼溅(3D Gaussian Splatting,3DGS)的显式场景表示在动态环境中虽有计算效率优势,但缺乏有效的动态物体处理机制;4)大规模场景重建中,计算复杂度剧增与有限资源约束之间的矛盾制约了SLAM的应用范围。本文针对动态和大规模场景SLAM所面临的挑战,从特征处理、实时性能、重建质量和计算资源管理等多个角度展开研究,并通过实验验证了所提方法的有效性。主要研究内容为: (1)针对动态场景中SLAM的实时性能与定位精度之间的平衡问题,提出了FDR-SLAM(Fast object detection,Depth-enhanced segmentation and dynamic detection Recovery SLAM)方法。该方法基于PConv(Partial Convolution)模块对目标检测网络结构进行改进,通过特征通道分组处理提升了推理速度,并基于此模型构建一个高效的动态SLAM框架;提出基于深度增强的动态区域分割方法,运用统计学分析方法对边界框内的像素进行考察,实现动静态区域的高效区分;同时提出一种基于历史动态描述子的漏检恢复策略,通过跨帧特征匹配补偿检测缺陷。实验结果表明,优化后的网络结构在检测精度仅损失0.5%的情况下,推理速度提升16.2%;相比于基线方法ORB-SLAM3,在TUM RGB-D数据集的高动态序列上的绝对轨迹误差降低了89.3%到96.1%,在Bonn动态数据集上降低了89.9%到98.8%。 (2)针对神经隐式表示方法在动态场景和大规模场景中的局限性,本文提出了DIDN-SLAM(Dynamic Implicit Dense Neural SLAM)方法。该方法提出了一种基于t分布的统计验证策略,区分场景中的动态物体与静态背景;在此基础上,基于自适应光线采样与多分辨率哈希编码的场景表示方法,利用网格结构组织三维空间并通过哈希映射实现特征表示,在维持重建质量的同时降低计算开销;同时提出一种联合优化重投影误差和特征点权重的方法,实现更稳健的相机跟踪。实验显示,相比现有的基于神经辐射场的SLAM方法,动态场景中该方法的跟踪精度提高了90%以上,在室内外环境中也展现出良好的动态物体移除和场景重建效果。 (3)针对基于3DGS的单目SLAM在动态场景中的局限性,本文提出一种基于3DGS的动态单目SLAM方法。该方法探索一种像素集补全策略,它结合光流分析和深度聚类,可对语义分割时漏检的动态区域进行补偿;引入一种非活动特征点的密集初始化方法,通过高斯金字塔渐进式训练,实现高质量场景初始化;同时提出动态像素集抑制策略,借助残差损失的软约束,控制对动态区域的过度抑制,并保留了场景重建的完整性。实验结果验证了方法在跟踪精度、重建质量与实时性方面的优越性。 (4)针对面向大规模场景重建的单目SLAM所面临的挑战,本文提出了一套基于3DGS的轻量级SLAM方法。该方法使用零样本深度估计模块作为代理深度获取深度信息;基于一种分层次的高斯管理策略,将高斯分为主导高斯与补充高斯两类,降低计算负载;探索一种基于误差检验的动态高斯添加机制,通过分析深度和颜色重投影误差来自适应地确定需要添加新高斯的区域。同时,还构建了火星表面仿真环境,集成Air Sim无人机模拟器采集数据。在公开和仿真数据集上的测试实验中,该方法显示出计算效率优势。 本文对动态和大规模场景SLAM的研究,从特征处理、场景表示、动态抑制与计算资源管理等多角度展开,为面向实际应用环境的SLAM系统提供了新的技术路径,实验结果验证了所提方法在性能与效率平衡方面的优越性。

关键词： 共边三角形的面积比   不共边三角形的面积比   铅锤法   “改斜归正”法  

摘要： 在2025年大思政课育人格局深化背景下，二次函数面积问题作为中考数学重点(如通过关键点坐标确定、割补法与等积变换将不规则图形转化为规则图形计算面积等技巧),中考常结合面积优化问题的生活背景(如资源配置、空间规划等),引发学生关注社会实际需求，强化责任意识；通过解题过程中逻辑严谨性的训练，培育科学精神与精益求精的治学态度；借助合作探究学习模式，渗透团队协作与集体主义价值观.本研究旨在以数学问题求解为切入点，实现知识传授与价值引领的有机统一，为大思政课在学科教学中的落地提供实践参考.

摘要： 1月20日,购买手机、平板和智能手表等可享受到国家补贴。补贴政策是以旧换新吗?消费者如何申领使用补贴?如何买才最划算?一图了解!

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摘要： 主持人：劳动者反映用人单位没有按照实际工资申报缴纳社保费，社保经办机构给用人单位下达了稽核通知书，要求用人单位补缴，但是单位拒不配合。劳动者提起上诉，但法院表示社保争议不属于法院受理范围，不予受理。该劳动者一直寻求社保经办机构解决问题，但是用人单位拒不出面办理缴费基数补差业务，社保经办机构如何处理此类问题？

关键词： NP问题   数字划分问题   多维多路数字划分问题   算法   启发式算法  

摘要： 数字划分问题是组合优化中的经典问题,也是经典的NP完全问题之一。数字划分问题在现实世界中有许多的应用,从任务调度到负载均衡再到公平分组等都可以直接抽象成不同的数字划分问题进行研究。除此之外,数字划分问题在选举问题,城市规划等问题中都有着广泛的应用。最经典的数字划分问题要求将n个任务划分到k个机器上,通过合理的分配使得机器完成所有任务的时间达到最短。而多维多路数字划分则对该经典问题进行了扩展,使其拥有更通用的问题形式。 数字划分问题由于其简单的结构性质,近年来也成为了众多研究者的研究的重点问题。本文首先总结了数字划分问题多年来的研究,包括二路数字划分问题,多路数字划分问题及多维多路数字划分问题等。之后本文针对多维多路数字划分问题进行了着重研究。首先在小规模的问题上,本文提出了一种改进型的MILP模型部分解决了多维多路数字划分问题的解的对称性问题,同时还设计了一些针对的下界帮助提高模型的运算效率。再之后,本文提出了一种基于树搜索+分支定界思想的精确算法,该算法是除了MILP模型之外专门针对多维多路数字划分问题设计的首个精确算法。而对于多维多路数字划分问题而言,现有的多维多路数字划分问题研究一般都在考虑如何处理大规模的实际应用问题,因此大量的研究一般从启发式或者元启发式的角度来考虑该问题。本文基于过去多路数字划分问题的研究基础上针对多维多路数字划分问题提出了一种基于交换的启发式算法,从另一个角度来求解多维多路数字划分问题并且本文为算法过程和有效性提供了一定的理论支持。与过去用于求解多维多路数字划分问题的算法相比,新算法在平均情况下取得了最佳结果,并且能够在有限时间内提供之前算法无法获得的优质解。从解质量上来看,新算法之前的最佳算法相比,在解的质量上提高了约3.54%-9.78%。

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