关键词:
非线性模型
广义Darboux变换
Hirota方法
孤子
呼吸子
Lump
摘要:
世界的本质是非线性的,自然现象和社会现象的多样性决定了非线性现象的多样性。光纤通信以及其他物理领域中的孤子、呼吸子、畸形波和lump等非线性现象可以用非线性发展方程来描述。本文基于Darboux变换、广义Darboux变换和Hirota方法分析讨论了光纤通信以及其他物理领域中的几类非线性模型,解析研究了这些非线性模型中孤子、呼吸子、畸形波和lump等非线性波的传播特点,并进一步分析了它们之间的相互作用现象。本文的结构和主要安排如下:第一章介绍了符号计算以及非线性科学的背景,非线性波作为非线性科学的主要研究内容之一,我们以孤子、畸形波、呼吸子和lump为例简要介绍了非线性波的发展,并对本文所用于研究非线性波的主要方法Darboux变换、广义Darboux变换和Hirota方法进行介绍,最后给出了本文的主要工作及结构安排。第二章,我们主要讨论的是二耦合变系数五次非线性Schr?dinger系统,它可以用来模拟五次非线性对超短光脉冲传播的影响。我们利用Darboux变换和广义Darboux变换的相关知识,构造了二耦合变系数五次非线性Schr?dinger系统的二阶和三阶向量呼吸子解。我们首先找到一个规范变换,将Lax对转换成我们常用的Ablowitz-Kaup-Newell-Segur系统的形式。此外,我们给出了 N阶Darboux变换的形式,其中N是一个正整数。利用泰勒展开式,我们推导了 N阶广义Darboux变换。借助N阶广义Darboux变换方法,我们给出了新系统的二阶和三阶向量呼吸子解,进一步通过规范变换得到了原系统的二阶和三阶向量呼吸子解。第三章主要研究了非齐次多分量光纤中三耦合变系数非线性Schr?dinger系统,这个系统可以用来描述具有不同偏振或频率的非均匀多分量光纤中皮秒脉冲的衰减或放大。我们得到了该系统不同于已有文献的Lax对。利用我们所给的Lax对,构造了 N阶广义Darboux变换,从而得到相应的一阶和二阶向量呼吸子解,进一步我们通过图片的形式展示了波浪形的一阶向量呼吸子、S-型的二阶向量呼吸子,以及当非线性系数和群速度色散系数取值为三角函数时一阶和二阶向量呼吸子在不同偏振或频率的非均匀多分量光纤中的传播现象。第四章研究了二耦合四阶非线性Schr?dinger系统,该系统可以用来描述双折射光纤中超短光脉冲的传播。具体是利用已有的Lax对,根据广义Darboux变换方法构造了该系统的二孤子和三孤子解。在此基础上,我们通过图片展示了(1)两个孤子之间的弹性相互作用以及三个孤子之间的弹性相互作用,其中孤子的振幅在相互作用后保持不变;(2)两个孤子之间的非弹性相互作用和三个孤子之间的非弹性相互作用,其中孤子的振幅在相互作用后发生变化;(3)三个孤子之间的束缚态;(4)高阶线性和非线性效应的强度对电场极化分量的影响。第五章研究了可以用来描述不同频率或极化的非均匀多分量光纤中皮秒脉冲放大或衰减的三耦合变系数非线性Schr?dinger系统,针对该系统我们研究了二阶半有理畸形波。首先,我们根据已有的Lax对,给出了该系统的广义Darboux变换,进一步我们利用广义Darboux变换构造了该系统的二阶半有理畸形波解。基于二阶半有理畸形波解,我们研究了二阶半有理畸形波的传播情况。最后我们通过线性稳定性分析了该系统的调制不稳定性。第六章探讨了矩阵型的非线性Schr?dinger方程,也就是可以用于描述具有八极与偶极相互作用的一维海森堡铁磁链的非线性自旋激发现象的Lakshmanan-Porsezian-Daniel方程。我们根据Darboux变换方法和广义Darboux变换方法构造了该方程的N阶Darboux变换和N阶广义Darboux变换,并给出了该方程的一阶和二阶向量呼吸子解,通过图像展示了一阶向量呼吸子的三种形式,分别是双峰呼吸子,亮圆形呼吸子和暗圆形呼吸子,二阶向量呼吸子的三种形式,即两个交叉的线型呼吸子,一个线型与一个S-型呼吸子交叉,以及一个线型与一个圆形呼吸子重叠。此外还探讨了高阶线性和非线性效应的强度对一阶和二阶向量呼吸子传播的影响。第七章主要研究的是流体力学中(3+1)维广义Kadomtsev-Petviashvili方程lump与单条形孤子的混合解以及lump与双条形孤子的混合解。我们根据已有的双线性形式,研究了该方程的lump与单条形孤子的融合与分裂现象,亮lump与亮双孤子的相互作用现象,暗lump与暗双孤子的相互作用现象。此外,我们还研究了方程相关的系数变化对lump与单条形孤子相互作用以及lump与双条形孤子相互作用的影响。第八章是本文的工作总结与展望。